Back

ⓘ מתמטיקה




                                               

מתמטיקה

מָתֵמָטִיקָה היא תחום דעת העוסק במושגים כגון כמות, מבנה, מרחב ושינוי. המתמטיקאים מחפשים דפוסים ותבניות משותפות במספרים, במרחב, במדע ובהפשטות דמיוניות. המתמטיקה התפתחה ממנייה, חישוב ומדידה ומהמחקר השיטתי של צורות ותנועה של עצמים מוחשיים. הידע והשימוש במתמטיקה בסיסית היוו תמיד חלק טבעי וחיוני בחיי האדם והקבוצה. ניתן למצוא שכלולים של הרעיונות הבסיסיים בטקסטים המתמטיים שהגו המצרים, הבבלים, ההודים, הסינים, היוונים והמוסלמים. כבר בשלב מוקדם בלטו שלושה מאפיינים המלווים את המתמטיקה עד היום: הוכחה: כל טענה מתמטית יש להוכיח, כלומר לנמק את נכונות הטענה באמצעות סדרה של כללי היסק. המתמטיקאי מעלה השערות ...

                                               

מתמטיקה עיונית

מתמטיקה עיונית היא ענף של המתמטיקה שעוסק במתמטיקה מתוך עניין בתכונות מתמטיות בלבד, ללא יעדים יישומיים בענפי מדע אחרים כגון פיזיקה, אסטרונומיה, הנדסה ועוד. בהתאם לכך ניתן לתאר את המתמטיקה העיונית כ"מתמטיקה לא בהכרח שימושית". מתמטיקה עיונית ומתמטיקה שימושית משתמשים באותם כלים מתמטיים והגבול בין שני ענפים אלה אינו חד, ובפועל ישנה חפיפה רבתי בפעילות של המתמטיקה העיונית והמתמטיקה השימושית: על-מנת לפתח מודלים מדויקים לתיאור העולם החיצוני, רבים מן המתמטיקאים של הזרם השימושי שואלים כלים וטכניקות הנחשבים ל"עיוניים", ומאידך רבים מן המתמטיקאים העיוניים נשענים בעבודותיהם על מושגים טבעיים וחברתיים כהשר ...

                                               

מתמטיקה בדידה

מתמטיקה בדידה, או מתמטיקה דיסקרטית, היא תחום רחב של המתמטיקה העוסק בחקר מבנים מתמטיים בדידים באופיים, כלומר כאלה שאינם רציפים. העצמים הנחקרים במסגרת המתמטיקה הבדידה הם רובם קבוצות בנות מנייה. מתמטיקה בדידה זוכה לפופולריות גוברת מאז החצי השני של המאה העשרים, בזכות שימושיה במדעי המחשב: מחשב ספרתי להבדיל ממחשב אנלוגי פועל בצורה בדידה, צעד אחר צעד ובעזרת יחידות בדידות, ולכן למתמטיקה בדידה רלוונטיות גבוהה ליסודות התאורטיים של אופן פעולתו.

                                               

היסטוריה של המתמטיקה

ראשיתה של המתמטיקה - המחקר השיטתי של כמות, מבנה, מרחב ושינוי - במושג הבסיסי של מספר ושל מנייה. מושגים אלו התפתחו כמעט בכל חברות האדם, וממצאים ארכאולוגיים מעידים כי כבר לפני כ-43.000 שנים השתמשו בני האדם במנייה. עם השנים התפתחו שיטות ספירה רבות ושונות, אך לא התבצע מחקר מתמטי מעמיק ברוב התרבויות. המקורות הבולטים של מחקר מתמטי, עד לפריחה אליה הגיעה המתמטיקה ביוון העתיקה, היו התרבויות המצרית, הבבלית, ההודית והסינית, שעסקו בבעיות חשבוניות, אלגבריות וגאומטריות בסיסיות וקונקרטיות. ביוון העתיקה חלה התפתחות כבירה במתמטיקה. עד אז העיסוק במתמטיקה היה תכליתי בלבד: בעיקר לצורכי חישובים. פריצת הדרך של ה ...

                                               

הוראת המתמטיקה

הוראת המתמטיקה היא תחום העוסק בהוראה ובלימוד של מתמטיקה. חוקרים בחינוך המתמטי מפתחים כלים, שיטות וגישות המאפשרים תרגול ולימוד בפועל. כתוצאה מכך התפתח תחום רחב של מחקר, הכולל מושגים, תאוריות, שיטות, ארגונים לאומיים ובינלאומיים, כנסים וספרות.

                                               

גבול (מתמטיקה)

במתמטיקה, גבול של אובייקט אינסופי הוא איבר בודד המייצג את ההתנהגות ארוכת הטווח של האובייקט. זהו מושג יסודי באנליזה מתמטית, ובהתאם לכך קיימים גבולות של סדרות, של פונקציות, ואף של סדרות של פונקציות. בהקשר הטופולוגי הרחב יותר, מוגדרים גם גבולות של רשתות ומסננים. לדוגמה, גבול של סדרת מספרים ממשיים הוא מספר שכמעט כל אברי הסדרה נמצאים במרחק קטן ממנו, ויהי המרחק קטן ככל שיהיה. כך למשל, גבולה של הסדרה ההרמונית 1, 1 2, 1 3, 1 4, … {\displaystyle \ 1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\dots } הוא אפס. אם יש לסדרה של מספרים ממשיים גבול, אז הוא יחיד. עם זאת, לא לכל סדרה קיים גבול: סדרה שיש ל ...

                                               

מתמטיקה שימושית

הביטוי מתמטיקה שימושית או מתמטיקה יישומית מהווה מסגרת לענפי המתמטיקה, שיש להם שימוש נרחב בתחומי מדע אחרים. משמעותו של הביטוי השתנתה במשך השנים, עם חדירתה של המתמטיקה לתחומי מדע רבים. לא קיימת הגדרה מדויקת מי מענפי המתמטיקה נחשבים ל"מתמטיקה שימושית" ומי ל"מתמטיקה טהורה". כיוון שעד לאמצע המאה ה-19 לא הייתה קיימת הבחנה חדה בין מתמטיקאים לפיזיקאים, קיימים גם נושאים הקשורים לפיזיקה, הנלמדים באופן מסורתי בחוגים למתמטיקה שימושית. עם זאת, ההבחנה בין מתמטיקה טהורה למתמטיקה שימושית היא סמנטית, ואין לה משמעות מחוץ לאקדמיה.

                                               

שוויון (מתמטיקה)

במתמטיקה ובלוגיקה, שוויון בין שני עצמים מציין זהות מוחלטת ביניהם, בכל מאפייניהם. השוויון הוא יחס, המסומן ב"=", ומתקיים: x=y אם ורק אם x ו-y שווים זה לזה. שוויון הוא מושג המופיע בכל תחומי המתמטיקה, תוך התייחסות לעצמים שבכל תחום. כך מוגדר שוויון בין מספרים, קבוצות, פונקציות, גרפים וכדומה. בכל ביטוי מתמטי של שוויון ישנם שני אגפים: ימני ושמאלי. דוגמה: שוויון בין מספרים: 2 + 4 = 6 שוויון זה מציין שני מספרים, הראשון הוא המספר "6", והשני "2 + 4". השוויון מראה כי שני צדדיו של סימן השוויון מייצגים את אותו מספר כפי שמתקבל מהגדרת החיבור. באופן פורמלי שוויון בין איברי קבוצה מוגדר בתור היחס: { x, x | x ...

                                               

פילוסופיה של המתמטיקה

הפילוסופיה של המתמטיקה היא ענף של הפילוסופיה העוסק בהנחות היסוד של המתמטיקה ובמשמעותה של המתמטיקה. הפילוסופיה של המתמטיקה מנסה לתת תשובות לשאלות כגון: "האם משפטים מתמטיים נכונים ובאיזה אופן?" "האם המתמטיקה היא תגלית או המצאה?" "מדוע המתמטיקה שימושית בתיאור היקום?" "באיזה מובן, אם בכלל, ישויות בסיסיות של המתמטיקה, כמו מספרים, קיימות?"

                                               

פרויקט הגנאלוגיה במתמטיקה

פרויקט הגנאלוגיה במתמטיקה הוא בסיס נתונים הנמצא באתר אינטרנט, המנהל את אילן היוחסין של מנחים וסטודנטים בעבודת דוקטור במתמטיקה. באילן יוחסין זה, המנחה הוא ה"אב" והדוקטורנט הוא ה"בן". ההגדרה של מתמטיקה היא רחבה יחסית וכוללת בנוסף למתמטיקה גם: "ניתוח נתונים", סטטיסטיקה, שיטות כמותיות בפיזיקה, שיטות כמותיות במדעי החברה, מדעי המחשב וחקר ביצועים. מאגר הנתונים כולל מידע על כ-220.000 מתמטיקאים. הפרויקט החל בספטמבר 1997 כשהפרופסור למתמטיקה הרי קונס Harry B. Coonce התעניין בשם המנחה של המנחה שלו, וכתוצאה בנה את אילן היוחסין. נכון לשנת 2010, הפרויקט מנוהל על ידי אוניברסיטת דקוטה הצפונית NDSU ונתמך על ...

                                               

שעשועי מתמטיקה

שעשועי מתמטיקה הם שם כולל למשחקים, חידות, קסמים מתמטיים, כן נושאים במתמטיקה שאינם דורשים ידע רב ויש בהם מן השעשוע. שעשועי מתמטיקה משמשים ככלי עזר חשוב בהוראת המתמטיקה ובפופולריזציה שלה. הגבול בין מתמטיקה לשעשועי מתמטיקה אינו חד, ובעיה שהיא בגדר שעשוע לאחד היא בגדר מתמטיקה טריוויאלית לאחר. דוגמה לכך היא החידה המתמטית: בקבוק עם פקק עולה 22 אגורות. הבקבוק עולה 20 אגורות יותר מהפקק, כמה עולה הפקק? למי שלמד אלגברה בסיסית, זו בעיה פשוטה בנעלם אחד, אך לחסר ידע באלגברה זו חידה שיש בה מן השעשוע, בפרט לאחר שמתברר שהתשובה המיידית, "שתי אגורות", שגויה התשובה הנכונה היא אגורה אחת. לעיתים ניתן לעסוק בבע ...

                                               

בחינת הבגרות במתמטיקה

בחינת הבגרות במתמטיקה היא בחינת בגרות חובה כתנאי לקבלת תעודת בגרות של משרד החינוך הישראלי. ישנם שלושה מסלולים, 3, 4 ו-5 יחידות לימוד המחולקים לפי דרגות קושי. מתמטיקה זהו מקצוע הבסיס היחיד בתעודת הבגרות, שלימודו ברמה של 5 יחידות, פוטר מלימוד והיבחנות במקצוע מורחב. כל זאת בתנאי שהתלמיד צובר את מינימום 21 יחידות לימוד לזכאות לתעודת בגרות.

                                               

פורטל: מתמטיקה

                                               

MathML

MathML היא שפת סימון לתיאור סימונים מתמטיים. מטרת השפה היא לשלב ולהציג סימונים מתמטיים מורכבים בצורה מסודרת בדפי אינטרנט ובמסמכים אחרים ללא צורך בשילוב תמונות, סימון TeX, עיבוד JavaScript, או בתוספות צד־שלישי לדפדפן. השפה היא חלק מ־HTML5, ותקן ISO/IEC DIS 40314 החל משנת 2015.

                                               

אולימפיאדת המתמטיקה הבינלאומית

אולימפיאדת המתמטיקה הבינלאומית היא תחרות בינלאומית למתמטיקה, המיועדת לתלמידי חטיבת ביניים ותיכון. האולימפיאדה מתקיימת מדי שנה, כל פעם במדינה אחרת. האולימפיאדה הראשונה התקיימה בשנת 1959 ברומניה והשתתפו בה נציגים משבע מדינות. בשנת 2017 התקיימה האולימפיאדה בברזיל בהשתתפות 111 מדינות ובשנת 2018 האולימפיאדה נערכה ברומניה.

                                               

בעיה מתמטית

בעיה מתמטית היא שאלה שניתן לייצגה, לנתח אותה, ואולי גם לפתור אותה בעזרת הכלים של המתמטיקה. זו יכולה להיות שאלה מעשית, כגון מהם מסלוליהם של כוכבי הלכת במערכת השמש, או שאלה מופשטת, כגון הבעיות של הילברט. שאלות על מציאות חומרית הופכות לבעיות מתמטיות בעזרת מודל מתמטי של נושא המחקר, דבר הכרוך בדרך כלל בהפשטה שלו. למשל על מנת להפוך את השאלה "מהם מסלוליהם של כוכבי הלכת" לבעיה מתמטית בת פתרון נוח להתייחס אל כוכבי הלכת כאל כדורים או נקודות במרחב. הדבר כרוך בהפשטה כי כוכבי הלכת אינם תואמים את התכונות המתמטיות של כדור ונקודה. לאחר שרטוט מסלולם הנצפה של כוכבי הלכת כעקומה במישור או במרחב ניתן להסיק מהע ...

                                               

זמן בדיד וזמן רציף

במתמטיקה, זמן בדיד וזמן רציף הן שתי גישות בהן ניתן למדל משתנים התלוים בזמן. גישות דומות יכולות להנקט גם עבור משתנים התלויים בגדלים אחרים במקום בזמן - לדוגמה, ממדי המישור.

                                               

חלוקת פולינומים

באלגברה, חלוקת פולינומים או חלוקת פולינומים עם שארית או חלוקה אוקלידית, היא אלגוריתם לחלוקת בפולינום אחר שדרגתו קטנה מזו של המחולק או שווה לשלו. למעשה, אלגוריתם זה מהווה הכללה לאלגוריתם החילוק הארוך באריתמטיקה. בדומה לחילוק האריתמטי, גם חילוק פולינומים מפרק בעיה מתמטית, העשויה להיות מסובכת, לתתי-בעיות פשוטות יותר, ולכן, הוא פשוט ונוח לשימוש באופן יחסי. זאת ועוד, קיימות גם שיטות המקצרות את תהליך חלוקה זה, כדוגמת חלוקה סינתטית. האלגוריתם מיישם הלכה למעשה את תכונת הפולינומים הבאה. בהינתן P x = a n x n + a n − 1 x n − 1 +. + a 1 x + a 0 {\displaystyle Px=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+.+a_{1}x+a_{0 ...

                                               

מטא-מתמטיקה

מטא-מתמטיקה הוא המחקר של המתמטיקה עצמה על ידי כלים מתמטיים, דבר המוביל למטא-תאוריות, תאוריות מתמטיות החוקרות תאוריות מתמטיות אחרות. המושג נקבע על ידי דויד הילברט, בניסיונו לבסס את המתמטיקה על מערכת אקסיומות עקבית ולגלות את היסודות הבסיסיים של המתמטיקה בתחילה המאה ה-20. המטא-מתמטיקה התפתחה בסוף המאה ה-19 עם התפתחות הגאומטריה הלא-אוקלידית של ניקולאי לובצבסקי, הידועה כיום כגאומטריה היפרבולית, אשר הובילה לתוצאות פילוסופיות רבות בתחום המטא-מתמטיקה. פיתוחים רבים במתמטיקה הובילו למחקר בתחום כגון פרדוקס ריצרד וכתב מושגים. הילברט פיתח את התחום על ידי ניסיון אקסיומיזציה של כל המתמטיקה, דבר שהוביל לכ ...

                                               

מתלט

מתלט הוא אדם שמתחרה בתחרויות מתמטיקה בכל רמה ובכל גיל. ליתר דיוק, מתמלט הוא סטודנט שמשתתף בכל אחת מתוכניות ה-MATHCOUNTS, שכן מתלט הוא סימן מסחרי רשום של קרן MATHCOUNTS בארצות הברית. המונח הוא הלחם של המילים מתמטיקה ואתלט. מתלטים מובילים מבית MATHCOUNTS ממשיכים להתחרות בתחרויות AIME, USAMO ו-ARML בארצות הברית. אלו שבמדינות אחרות משתתפים בדרך כלל באולימפיאדות לאומיות כדי להעפיל לאולימפיאדה הבינלאומית במתמטיקה. המשתתפים ביום המתמטיקה העולמי מכונים בדרך כלל מתלטים.

                                               

תגובת יתר

תגובת יתר בעיבוד אותות, תורת הבקרה ומתמטיקה היא נוכחות של אות או פונקציה מעבר לסף רצוי. חציית הסף נובעת ממאמץ יתר כמו תאוצה, אנרגיה למערכות בעלות רוחב פס חסום. לרוב לאחר תגובת יתר תתרחש תנודתיות.